이과생이라면 e라는 기호를 자주 봤을 것이고, 자주 접하게 될 것입니다. 자연상수 e의 값은 2.718281828459045... 로 그 끝이 없는 무리수입니다. e는 자연상수 외에도 자연로그의 밑, 오일러 상수 등으로도 불립니다.
그런데 자연상수 e는 어디서 튀어나왔을까요?
자연상수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어에 의해 발간된 로그표에서였습니다. 그러나 그는 로그 계산 과정에서 나온 값을 간단하게 취급할 뿐 하나의 상수 취급을 하진 않았습니다.
이후 e가 특정한 상수임을 발견한 사람은 야코프 베르누이라는 사람입니다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하였습니다.
이같은 식이 어떻게 탄생했는지는 연속복리 이자계산을 통해 알아보겠습니다.
제가 A은행에 1원을 맡겼고, 1년 이자율이 100%라고 가정하겠습니다. 그러면 1년 뒤 제가 찾을 금액은 (1+1)=2입니다.
그런데 A은행 측에서 6개월마다 복리로 지급하겠다는 상품을 만들었고, 이때 1년 뒤 제가 찾을 금액은 (1+½)인데, 이를 2번 찾아가야 하므로 (1+½)²=2.25입니다.
만약 A은행에서 3개월만에 지급한다면 1년에 4번을 찾아가야 하므로 (1+¼)⁴, 2달만에 지급한다면 1년에 6번을 찾아가야 하므로 (1+⅙)⁶이 됩니다. 결국 n번을 찾으러 갈 때마다 이 금액은 (1+1/n) 의 n제곱이 됩니다. 수학자들은 돈을 찾으러 가는 주기가 짧아진다면, 즉 n이 계속 증가한다면 이 수가 끊임없이 증가하는지, 혹은 어떤 수로 수렴하는지 궁금해했습니다. 이를 알아보기 위해 n이 한없이 무한대에 가까워 질 때의 극한값을 알아봤습니다.
이 극한값을 알아보니 2.718281828459045... 이라는 수가 도출되었고 이를 자연상수 e라고 명명하였습니다. 바로 이게 자연상수 e의 시초입니다.